Tema : Leitura de
problemas com frações e anotações
Objetivos
- Conhecer e adotar procedimentos de leitura para a compreensão de enunciados de problemas matemáticos.
Conteúdos
- Leitura de enunciados de problemas.
- Frações e mínimo múltiplo comum.
Anos 6º e 7º.
Tempo estimado Uma aula.
Material necessário
Cópias (uma para cada aluno) do enunciado do problema dos 35 camelos, presente no capítulo 3 do livro O Homem que Calculava, de Malba Tahan, e transcrito abaixo.
Desenvolvimento
1ª etapa
Distribua cópias do seguinte problema: "Um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir, do século 10, época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três irmãos discutindo acaloradamente. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, que deixava a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança: o mais velho receberia a metade. Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo! O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo! O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo! Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema e apresentou a seguinte solução: ‘Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe. Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil: o mais velho recebe 1/2 de 36, ou seja, 18; o irmão do meio recebe 1/3 de 36 , o que equivale a 12; finalmente, o caçula recebe 1/9 de 36, que é igual a 4’. Os irmãos nada reclamaram. Cada um deles ganhou mais do que receberia antes. Todos saíram lucrando. Beremiz explicou sua resolução: ‘O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total da herança recebida por eles é 18 + 12 + 4, ou seja, 34 camelos. Sobraram 2 camelos, um deles pertence a meu amigo, o que foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra fica para mim por ter resolvido esse complicado problema de herança satisfatoriamente’".
De início, proponha a leitura individualmente. Em seguida, realize uma leitura em voz alta, esclarecendo eventuais dúvidas de vocabulário para que todos possam entender a história.
2ª etapa
Organize a turma em dupla para que discutam as seguintes questões: "Como o feito do matemático foi possível?" e "Como todos os irmãos ganharam mais camelos do que lhes cabia e, ainda assim, sobrou um camelo?"
3ª etapa
Anote no quadro as várias hipóteses e procedimentos sugeridos pelas duplas. Ao longo da exposição, introduza perguntas sobre a validade dos argumentos, sugerindo novos caminhos para a solução: quais são os dados oferecidos para resolver o mistério? Dá para abrir mão de algum deles? Ou, ao contrário, falta algum dado? O que representam as frações citadas? Qual a relação delas com o testamento deixado pelo pai? É necessário transformá-las em números inteiros para resolver a questão ou existe outra forma de realizar a operação? Conforme o debate avança, registre os melhores procedimentos no quadro. Também peça à turma que os anote no caderno.
4ª etapa
Se os alunos não desvendarem o enigma sozinhos, questione os aspectos que permitem a soma de frações, retomando os denominadores diferentes e o mínimo múltiplo comum, que permite igualá-las sob o mesmo denominador. É esperado que a turma alcance o seguinte raciocínio: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18. Assim, fica explícito que a proposta pelo pai não resulta em um inteiro, e sim em 17/18. E, ao acrescer um camelo ao total, Beremiz obtém 36, o que torna possível dividir por 18, o mínimo múltiplo comum da questão.
- Conhecer e adotar procedimentos de leitura para a compreensão de enunciados de problemas matemáticos.
Conteúdos
- Leitura de enunciados de problemas.
- Frações e mínimo múltiplo comum.
Anos 6º e 7º.
Tempo estimado Uma aula.
Material necessário
Cópias (uma para cada aluno) do enunciado do problema dos 35 camelos, presente no capítulo 3 do livro O Homem que Calculava, de Malba Tahan, e transcrito abaixo.
Desenvolvimento
1ª etapa
Distribua cópias do seguinte problema: "Um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir, do século 10, época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três irmãos discutindo acaloradamente. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, que deixava a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança: o mais velho receberia a metade. Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo! O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo! O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo! Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema e apresentou a seguinte solução: ‘Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe. Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil: o mais velho recebe 1/2 de 36, ou seja, 18; o irmão do meio recebe 1/3 de 36 , o que equivale a 12; finalmente, o caçula recebe 1/9 de 36, que é igual a 4’. Os irmãos nada reclamaram. Cada um deles ganhou mais do que receberia antes. Todos saíram lucrando. Beremiz explicou sua resolução: ‘O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total da herança recebida por eles é 18 + 12 + 4, ou seja, 34 camelos. Sobraram 2 camelos, um deles pertence a meu amigo, o que foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra fica para mim por ter resolvido esse complicado problema de herança satisfatoriamente’".
De início, proponha a leitura individualmente. Em seguida, realize uma leitura em voz alta, esclarecendo eventuais dúvidas de vocabulário para que todos possam entender a história.
2ª etapa
Organize a turma em dupla para que discutam as seguintes questões: "Como o feito do matemático foi possível?" e "Como todos os irmãos ganharam mais camelos do que lhes cabia e, ainda assim, sobrou um camelo?"
3ª etapa
Anote no quadro as várias hipóteses e procedimentos sugeridos pelas duplas. Ao longo da exposição, introduza perguntas sobre a validade dos argumentos, sugerindo novos caminhos para a solução: quais são os dados oferecidos para resolver o mistério? Dá para abrir mão de algum deles? Ou, ao contrário, falta algum dado? O que representam as frações citadas? Qual a relação delas com o testamento deixado pelo pai? É necessário transformá-las em números inteiros para resolver a questão ou existe outra forma de realizar a operação? Conforme o debate avança, registre os melhores procedimentos no quadro. Também peça à turma que os anote no caderno.
4ª etapa
Se os alunos não desvendarem o enigma sozinhos, questione os aspectos que permitem a soma de frações, retomando os denominadores diferentes e o mínimo múltiplo comum, que permite igualá-las sob o mesmo denominador. É esperado que a turma alcance o seguinte raciocínio: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18. Assim, fica explícito que a proposta pelo pai não resulta em um inteiro, e sim em 17/18. E, ao acrescer um camelo ao total, Beremiz obtém 36, o que torna possível dividir por 18, o mínimo múltiplo comum da questão.
Avaliação
Durante a leitura e o debate, verifique se os estudantes compreendem o que o enunciado pede, se selecionam os dados que levam à solução e se conseguem aplicar o tratamento matemático mais adequado para eles. Para obter dados comparativos e avaliar a evolução da classe, repita o procedimento com problemas variados, de enunciados mais simples e mais complexos, longos e curtos, com dados a mais (desnecessários à solução) e a menos.
Durante a leitura e o debate, verifique se os estudantes compreendem o que o enunciado pede, se selecionam os dados que levam à solução e se conseguem aplicar o tratamento matemático mais adequado para eles. Para obter dados comparativos e avaliar a evolução da classe, repita o procedimento com problemas variados, de enunciados mais simples e mais complexos, longos e curtos, com dados a mais (desnecessários à solução) e a menos.
